Activité - Approcher une aire

A

1 Tracer sur la figure la droite d'équation \(y=x\). Calculer \(\int_0^1{t dt}\).

2 Tracer sur la figure la droite d'équation \(y=x-0,3\). Calculer \(\int_0^1{t - 0,3 dt}\).

3 En déduire l'encadrement \(0,245 \lt \int_0^1{t^2 dt} \lt 0,5\)

B

1 Quelle est l'aire d'un carreau de 0,1 unités de large ?

2 Délimiter la plus petite zone possible, ne comprenant que des carreaux entiers, qui contienne la zone coloriée

.

3 En déduire une majoration de l'aire coloriée

4 Délimiter la plus grande zone possible, ne comprenant que des carreaux entiers, qui soit contenue dans la zone coloriée

.

5 En déduire une minoration de l'aire coloriée

6 Donner un encadrement de \(\int_0^1{t^2 dt}\). Quelle est la marge d'erreur ?

C

En s'inspirant des deux parties précédentes, proposer une méthode s'inspirant des deux précédentes pour approcher l'aire coloriée :

• comme à la partie A, on veut découper des zones obliques
• comme dans la partie B, on veut découper en plusieurs petites zones
• on veut être plus précis que dans les deux cas

1 Expliciter la méthode, et tracer les deux zones sur la figure co-dessous : celle contenant \(\mathcal{D}\), et celle contenue dans \(\mathcal{D}\).

2 Calculer les aires de ces deux zones

3 Proposer un encadrement de l'aire de \(\int_0^1{t^2 dt}\).

D

1 Tracer la courbe dans votre calculatrice pour \(x\) dans \([0;1]\) et \(y\) dans \([0;1]\).

2 À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,001 de \(\int_0^1{t^2 dt}\)

Pour calculer une intégrale sur la calculatrice, il faut commencer par tracer la courbe, puis :

• Dans la TI82, aller dans calculs (2nde + trace), puis sélectionner \(\int{dx}\). Avec les touches ← et →, sélectionner les bornes (0 et 1).
• Dans la Casio, aller dans G-Solve (F5), puis sélectionner \(\int{dx}\). Avec les touches ← et →, sélectionner les bornes (0 et 1).